Modelo Binomial de Preços de Opções O que é o Modelo Binomial de Preços de Opções O modelo binomial de precificação de opções é um método de avaliação de opções desenvolvido em 1979. O modelo binomial de precificação de opções usa um procedimento iterativo, permitindo a especificação de nós, ou pontos no tempo, durante o tempo Intervalo entre a data de avaliação e a data de validade das opções. O modelo reduz as possibilidades de mudanças de preços e remove a possibilidade de arbitragem. Um exemplo simplificado de uma árvore binomial pode parecer algo como isto: BREAKING DOWN Modelo Binomial de Preços de Opções O modelo binomial de preços de opções assume um mercado perfeitamente eficiente. Sob este pressuposto, é capaz de fornecer uma avaliação matemática de uma opção em cada ponto no prazo especificado. O modelo binomial assume uma abordagem neutra ao risco para a avaliação e pressupõe que os preços de segurança subjacentes só podem aumentar ou diminuir com o tempo até a opção expirar sem valor. Binomial Pricing Example Um exemplo simplificado de uma árvore binomial tem apenas um passo de tempo. Suponha que haja uma ação com preço de 100 por ação. Em um mês, o preço deste estoque aumentará em 10 ou diminuirá em 10, criando esta situação: Preço de ações 100 Stock Price (up state) 110 Stock Price (down state) 90 Em seguida, suponha que haja uma opção de compra disponível Neste estoque que expira em um mês e tem um preço de exercício de 100. No estado de conclusão, esta opção de chamada vale 10 e, no estado abaixo, vale 0. O modelo binomial pode calcular o preço da chamada A opção deve ser hoje. Para fins de simplificação, suponha que um investidor adquira metade do estoque de ações e escreva, ou vende, uma opção de compra. O investimento total hoje é o preço de metade de uma ação, menos o preço da opção, e as possíveis recompensas no final do mês são: Custo hoje 50 - preço da opção Valor da carteira (até o estado) 55 - máximo (110 - 100, 0) 45 Valor da carteira (baixo estado) 45 - máximo (90 - 100, 0) 45 O retorno da carteira é igual, não importa como o preço das ações se move. Dado esse resultado, assumindo que não há oportunidades de arbitragem, um investidor deve ganhar a taxa livre de risco ao longo do mês. O custo hoje deve ser igual ao pagamento descontado à taxa livre de risco por um mês. A equação a resolver é assim: Preço da opção 50 - 45 xe (taxa livre de risco x T), onde e é a constante matemática 2.7183 Assumindo que a taxa livre de risco é de 3 por ano e T é igual a 0,0833 (uma dividida por 12 ), Então o preço da opção de compra hoje é 5.11. Devido à sua estrutura simples e iterativa, o modelo de preço da opção binomial apresenta certas vantagens únicas. Por exemplo, uma vez que fornece um fluxo de avaliações para um derivado para cada nó em um período de tempo, é útil para avaliar derivativos, como opções americanas. Também é muito mais simples do que outros modelos de preços, como o modelo Black-Scholes. Exemplos para entender o modelo de preço da opção Binomial É bastante desafiador concordar com o preço exato de qualquer bem negociável, mesmo hoje em dia. É por isso que os preços das ações continuam mudando constantemente. Na realidade, a empresa dificilmente altera sua avaliação no dia-a-dia, mas o preço das ações e sua valoração mudam a cada segundo. Isso mostra dificilmente alcançar um consenso sobre o preço atual de qualquer bem negociável, o que leva a oportunidades de arbitragem. No entanto, essas oportunidades de arbitragem são realmente de curta duração. Tudo se resume à avaliação atual, o que é o preço atual atual hoje para uma recompensa futura esperada. Em um mercado competitivo, para evitar oportunidades de arbitragem, os ativos com estruturas idênticas de remuneração devem ter o mesmo preço. A avaliação das opções tem sido uma tarefa desafiadora e observam-se altas variações nos preços, levando a oportunidades de arbitragem. Black-Scholes continua sendo um dos modelos mais populares usados para opções de preços. Mas tem suas próprias limitações. (Para obter mais informações, consulte: Preço das opções). O modelo de preço da opção binomial é outro método popular usado para opções de preços. Este artigo discute alguns exemplos abrangentes passo a passo e explica o conceito subjacente de risco neutro na aplicação deste modelo. (Para leitura relacionada, veja: Rompendo o modelo Binomial para Valorar uma Opção). Este artigo assume a familiaridade do usuário com opções e conceitos e termos relacionados. Suponha que exista uma opção de compra em uma determinada ação cujo preço de mercado atual é de 100. A opção ATM tem um preço de exercício de 100 com prazo de vencimento de um ano. Existem dois comerciantes, Peter e Paul, que ambos concordam que o preço das ações aumentará para 110 ou cai para 90 em um ano. Ambos concordam com os níveis esperados de preços em um determinado período de um ano, mas não concordam com a probabilidade do movimento para cima (e para baixo). Peter acredita que a probabilidade de o preço das ações chegar a 110 é de 60, enquanto Paulo acredita que é 40. Com base no acima, quem estaria disposto a pagar mais preço pela opção de compra Possivelmente Peter, como ele espera uma alta probabilidade de mudança para cima. Vamos ver os cálculos para verificar e entender isso. Os dois ativos em que depende a avaliação são a opção de compra e o estoque subjacente. Existe um acordo entre os participantes de que o preço do estoque subjacente pode passar dos atuais 100 para 110 ou 90 em um ano, e não há outros movimentos de preços possíveis. Em um mundo livre de arbitragem, se devemos criar um portfólio que inclua esses dois ativos (opção de compra e ações subjacentes), de modo que, independentemente de onde o preço subjacente seja (110 ou 90), o retorno líquido da carteira permanece sempre o mesmo . Suponhamos que nós compramos d ações de opções subjacentes e de uma chamada curta para criar esse portfólio. Se o preço for de 110, nossas ações valerão 110d e bem, perderá 10 em curto pagamento de chamadas. O valor líquido de nossa carteira será (110d 10). Se o preço cair para 90, nossas ações valerão 90d, e a opção expirará sem valor. O valor líquido de nossa carteira será (90d). Se queremos que o valor do nosso portfólio permaneça o mesmo, independentemente de onde quer que o preço das ações subjacentes, o nosso valor de carteira deve permanecer o mesmo em ambos os casos, ou seja: gt (110d 10) 90d, ou seja, se comprarmos metade do compartilhamento ( Assumindo que as compras fraccionadas são possíveis), conseguiremos criar um portfólio de forma que seu valor permaneça o mesmo nos dois estados possíveis dentro do prazo determinado de um ano. (Ponto 1) Este valor de carteira, indicado por (90d) ou (110d -10) 45, é um ano abaixo da linha. Para calcular o valor presente. Pode ser descontado por taxa de retorno livre de risco (assumindo 5). Gt 90d exp (-51 ano) 45 0.9523 42.85 gt Valor presente da carteira Como atualmente, a carteira é constituída por ações do estoque subjacente (com preço de mercado 100) e 1 chamada curta, deve ser igual ao valor presente calculado acima Ie gt 12100 Preço 1call 42.85 gt Preço de chamada 7.14, ou seja, o preço da chamada a partir de hoje. Uma vez que isso se baseia na suposição acima de que o valor do portfólio permanece o mesmo, independentemente de qual o preço subjacente (ponto 1 acima), a probabilidade de mover para cima ou para baixo não desempenha qualquer papel aqui. O portfólio permanece livre de riscos, independentemente dos movimentos de preços subjacentes. Em ambos os casos (assumido como sendo em movimento para 110 e para baixo, mude para 90), nosso portfólio é neutro para o risco e ganha a taxa de retorno livre de risco. Portanto, ambos os comerciantes, Peter e Paul, estarão dispostos a pagar o mesmo 7.14 para esta opção de chamada, independentemente de suas próprias percepções diferentes das probabilidades de movimentos ascendentes (60 e 40). Suas probabilidades percebidas individualmente não desempenham nenhum papel na avaliação de opções, como se vê a partir do exemplo acima. Se supor que as probabilidades individuais sejam importantes, haveria oportunidades de arbitragem existentes. No mundo real, tais oportunidades de arbitragem existem com menores diferenciais de preços e desaparecem em curto prazo. Mas, onde é a volatilidade muito alta em todos esses cálculos, que é um fator importante (e mais sensível) que afeta o preço das opções. A volatilidade já está incluída na natureza da definição do problema. Lembre-se de que estamos assumindo dois (e apenas dois - e, portanto, o nome binomial) dos níveis de preços (110 e 90). A volatilidade está implícita nessa suposição e, portanto, inclui automaticamente 10 de qualquer maneira (neste exemplo). Agora, vamos fazer uma verificação de sanidade para ver se a nossa abordagem é correta e coerente com o preço comummente utilizado da Black-Scholes. (Veja: O modelo de avaliação da opção Black-Scholes). Aqui estão as capturas de tela dos resultados das calculadoras das opções (cortesia da OIC), que combina de perto com nosso valor calculado. Infelizmente, o mundo real não é tão simples quanto apenas dois estados. Existem vários níveis de preços que podem ser alcançados pelo estoque até o momento de expirar. É possível incluir todos esses níveis múltiplos em nosso modelo de precificação binomial, que é restrito a apenas dois níveis. Sim, é muito possível, e para entender isso, vamos entrar em alguma matemática simples. Alguns passos de cálculo intermediários são ignorados para mantê-lo resumido e focado nos resultados. Para avançar, generalizamos esse problema e solução: X é o preço de mercado atual do estoque e Xu e Xd são os preços futuros para movimentos para cima e para baixo nos anos seguintes. Factor você será maior do que 1, pois indica que o movimento e d ficam entre 0 e 1. Para o exemplo acima, u1.1 e d0.9. As recompensas da opção de chamada são P up e P dn para movimentos para cima e para baixo, no momento do caducidade. Se construímos uma carteira de ações de s compradas hoje e uma curta opção de chamada, então, depois do tempo t: Valor da carteira em caso de movimento ascendente SXu P up Valor da carteira em caso de queda de movimento sXd P dn Para avaliação semelhante em ambos os casos de Movimento de preço, gt s (P up - P dn) (X (ud)) no. De ações para comprar para portfólio livre de risco O valor futuro da carteira no final de anos será o valor atual de acima pode ser obtido descontando-o com taxa de retorno livre de risco: Isso deve corresponder à participação da carteira de ações da s em X preço e valor de chamada curto c, ou seja, a data atual de retenção de (s X - c) deve ser igual à acima. Resolver para c finalmente dá c como: SE CURRIR O PRIMEIRO DE CHAMADAS DEVEM SER ADICIONAIS A PORTFOLIO NÃO SUBTRAÇÃO. Outra maneira de escrever a equação acima é reorganizando-a da seguinte forma: então a equação acima se torna Reorganizando a equação em termos de q ofereceu uma nova perspectiva. Q agora pode ser interpretado como a probabilidade do movimento ascendente do subjacente (como q é associado com P up e 1-q está associado a P dn). Em geral, a equação acima representa o preço atual da opção, ou seja, o valor descontado da sua recompensa no vencimento. Como é esta probabilidade q diferente da probabilidade de mover para cima ou para baixo do subjacente O valor do preço da ação no tempo tq Xu (1-q) Xd Substituindo o valor de q e reorganizando, o preço da ação no tempo t vem Neste mundo assumido de dois estados, o preço do estoque simplesmente aumenta pela taxa de retorno livre de risco, ou seja, exatamente como um recurso livre de risco e, portanto, permanece independente de qualquer risco. Todos os investidores são indiferentes ao risco sob este modelo, e isso constitui o modelo de risco neutro. A probabilidade q e (1-q) são conhecidas como probabilidades de risco neutro e o método de avaliação é conhecido como modelo de avaliação de risco neutro. O exemplo acima tem um requisito importante: a futura estrutura de recompensa é necessária com precisão (nível 110 e 90). Na vida real, a clareza sobre os níveis de preços baseados em etapas não é possível, em vez disso, o preço se move aleatoriamente e pode se estabelecer em vários níveis. Vamos ampliar o exemplo. Suponha que os níveis de preços em duas etapas são possíveis. Conhecemos os resultados finais do segundo passo e precisamos valorar a opção hoje (ou seja, na etapa inicial). Trabalhando para trás, a avaliação do primeiro passo intermediário (em t1) pode ser feita usando os resultados finais no segundo passo (t2) e, em seguida, usando estes Avaliação de primeiro passo calculada (t1), a avaliação atual (t0) pode ser alcançada usando os cálculos acima. Para obter o preço das opções no nº. 2, recompensas em 4 e 5 são usadas. Para obter preços para o número. 3, recompensas em 5 e 6 são usadas. Finalmente, os pagamentos calculados em 2 e 3 são usados para obter preços no nº. 1. Por favor, note que nosso exemplo assume o mesmo fator para mover para cima (e para baixo) em ambos os passos - u (e d) são aplicados de forma combinada. Aqui está um exemplo de trabalho com cálculos: suponha uma opção de venda com preço de exercício 110 negociando atualmente em 100 e expirando em um ano. A taxa livre de risco anual é de 5. O preço deverá aumentar 20 e diminuir 15 a cada seis meses. Vamos estruturar o problema: Aqui, u1.2 e d 0.85, X100, t 0.5 valor da opção de colocação no ponto 2, Na condição de up de P, o subjacente será 1001.21.2 144 levando a P upup zero Na condição de P updn, subjacente Seja 1001.20.85 102 levando a P updn 8 Na condição P dndn, subjacente será 1000.850.85 72.25 levando a P dndn 37.75 p 2 0.975309912 (0.358028320 (1-0.35802832) 8) 5.008970741 De forma similar, p 3 0.975309912 (0.358028328 (1- 0.35802832) 37.75) 26.42958924 E, portanto, valor da opção de venda, p 1 0.975309912 (0.358028325.008970741 (1-0.35802832) 26.42958924) 18.29. Da mesma forma, os modelos binomiais permitem quebrar a duração da opção inteira para refinar vários níveis de etapas. Usando programas de computador ou planilhas pode-se trabalhar para trás um passo de cada vez, para obter o valor atual da opção desejada. Concluímos com mais um exemplo envolvendo três etapas para a avaliação da opção binomial: Assuma uma opção de venda de tipo europeu, com um prazo de vencimento de 9 meses com preço de exercício de 12 e preço subjacente atual em 10. Aceite taxa livre de risco de 5 para todos os períodos. Assuma cada 3 meses, o preço subjacente pode mover-se 20 para cima ou para baixo, dando-nos u1.2, d0.8, t0.25 e árvore binomial de 3 etapas. Os números em vermelho indicam preços subjacentes, enquanto os que estão em azul indicam a opção de recompensa da venda. A probabilidade neutra de risco q calcula para 0,531446. Usando o valor acima de q e os valores de recompensa em t9 meses, os valores correspondentes em t6 meses são calculados como: Além disso, usando esses valores calculados em t6, os valores em t3 e, em seguida, em t0 são: dando o valor atual da opção put como 2.18, o que é bastante próximo do calculado utilizando o modelo Black-Scholes (2.3). Embora o uso de programas de computador facilite muito esses cálculos intensivos, a previsão de preços futuros continua a ser uma grande limitação de modelos binomiais para preços de opções. Quanto mais finos os intervalos de tempo, mais difícil consegue prever com precisão os retornos no final de cada período. No entanto, a flexibilidade para incorporar mudanças como esperado em diferentes períodos de tempo é uma vantagem acrescida, o que torna adequado para o preço das opções americanas. Incluindo avaliações de exercícios antecipados. Os valores calculados usando o modelo binomial coincidem com os calculados a partir de outros modelos comumente usados, como o Black-Scholes, que indica a utilidade e a precisão dos modelos binomiais para o preço das opções. Os modelos de preços binomiais podem ser desenvolvidos de acordo com uma preferência de comerciantes e funcionam como uma alternativa a Black-Scholes.
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